實數範圍內的求模（求餘）運算：負數求餘究竟怎麼求

背景

最近在一道 Java 習題中，看到這樣的一道題：

What is the output when this statement executed: System.out.printf(-7 % 3);

正整數的取餘運算大家都很熟悉，但是對於負數、實數的取餘運算，確實給人很新鮮的感覺。於是我對此進行了一些探索。我發現，這裡面還是頗有一點可以探索的東西的。

探究

首先，看看自然數的取模運算（ 定義1 ）:

如果a和d是兩個自然數，d非零，可以證明存在兩個唯一的整數 q 和 r ，滿足 a = qd + r 且0 ≤ r < d 。其中，q 被稱為商，r 被稱為餘數。

那麼對於負數，是否可以沿用這樣的定義呢？我們發現，假如我們按照正數求餘的規則求 (-7) mod 3 的結果，就可以表示 -7 為 (-3)* 3 +2。其中，2是餘數，-3是商。

那麼，各種編程語言和計算器是否是按照這樣理解的呢？下面是幾種軟件中對此的理解。

可以看到，結果特別有意思。這個問題是百家爭鳴的。看來我們不能直接把正數的法則加在負數上。實際上，在整數範圍內，自然數的求餘法則並不被很多人所接受，大家大多認可的是下面的這個 定義2 。

如果a 與d 是 整數 ，d 非零，那麼餘數 r 滿足這樣的關係：

a = qd + r , q 為整數，且0 ≤ |r| < |d|。

可以看到，這個定義導致了有負數的求餘並不是我們想象的那麼簡單，比如，-1 和 2 都是 (-7) mod 3 正確的結果，因為這兩個數都符合定義。這種情況下，對於取模運算，可能有兩個數都可以符合要求。我們把 -1 和 2 分別叫做正餘數和 負餘數 。通常，當除以d 時，如果正餘數為r1，負餘數為r2，那麼有

r1 = r2 + d

對負數餘數不明確的定義可能導致嚴重的計算問題，對於處理關鍵任務的系統，錯誤的選擇會導致嚴重的後果。

看完了 (-7) mod 3，下面我們來看一看 7 mod (-3) 的情況（看清楚，前面是 7 帶負號，現在是 3 帶負號）。根據 定義2 ，7 = (-3) * (-2) + 1 或7 = (-3) * (-3) -2，所以餘數為 1 或 -2。

從中我們看到幾個很有意思的現象：

• Java 緊隨 C++ 的步伐，而 Python、Google、百度步調一致。難道真是 物以類聚？ 聯想一下，Google 一直支持 Python，Python 也頗有 Web 特色的感覺，而且 Google Application Engine 也用的 Python，國內的搜索引擎也不約而同地按照 Google 的定義進行運算。
• 可以推斷，C++ 和 Java 通常會 儘量讓商更大一些 。比如在 (-7) mod 3中，他們以 -2 為商，餘數為 -1。在 Python 和 Google 計算器中， 儘量讓商更小 ，所以以 -3 為商。在 7 mod (-3) 中效果相同：C++ 選擇了 3 作為商，Python 選擇了 2 作為商。但 是在正整數運算中，所有語言和計算器都遵循了儘量讓商小的原則， 因此 7 mod 3 結果為 1 不存在爭議，不會有人說它的餘數是-2。
• 如果按照第二點的推斷，我們測試一下 (-7) mod (-3)，結果應該是前一組語言（C++，Java）返回 2，後一組返回 -1。（請注意這只是假設）

於是我做了實際測試：

結果讓人大跌眼鏡，所有語言和計算機返回結果完全一致。

總結

我們由此可以總結出下面兩個結論：

1. 對於任何同號的兩個整數，其取餘結果沒有爭議，所有語言的運算原則都是 使商儘可能小 。
2. 對於異號的兩個整數，C++/Java語言的原則是 使商儘可能大， 很多新型語言和網頁計算器的原則是使商儘可能小。

拓展

最後是 拓展時間 。對於 實數 ，我們也可以定義取模運算（ 定義3 ）。

當 a 和 d 是實數，且d 非零, a 除以 d 會得到另一個實數（商），沒有所謂的剩餘的數。但如果要求商為一個整數，則餘數的概念還是有必要的。可以證明：存在唯一的整數商 q 和唯一的實數 r 使得: a = qd + r, 0 ≤ r < |d|. （轉自維基百科）

如上在實數範圍內擴展餘數的定義在數學理論中並不重要，儘管如此， 很多程序語言都實現了這個定義 。至於哪些程序語言實現了這個定義，就留給大家自己探究吧！