实数范围内的求模(求余)运算:负数求余究竟怎么求

背景

最近在一道 Java 习题中,看到这样的一道题:

What is the output when this statement executed: System.out.printf(-7 % 3);

正整数的取余运算大家都很熟悉,但是对于负数、实数的取余运算,确实给人很新鲜的感觉。于是我对此进行了一些探索。我发现,这里面还是颇有一点可以探索的东西的。

探究

首先,看看自然数的取模运算( 定义1 ):

如果ad是两个自然数,d非零,可以证明存在两个唯一的整数 qr ,满足 a = qd + r 且0 ≤ r < d 。其中,q 被称为商,r 被称为余数。

那么对于负数,是否可以沿用这样的定义呢?我们发现,假如我们按照正数求余的规则求 (-7) mod 3 的结果,就可以表示 -7 为 (-3)* 3 +2。其中,2是余数,-3是商。

那么,各种编程语言和计算器是否是按照这样理解的呢?下面是几种软件中对此的理解。

语言 语句 输出
C++(G++ 编译) cout « (-7) % 3; -1
Java(1.6) System.out.println((-7) % 3); -1
Python 2.6 (-7) % 3 2
百度计算器 (-7) mod 3 2
Google 计算器 (-7) mod 3 2

可以看到,结果特别有意思。这个问题是百家争鸣的。看来我们不能直接把正数的法则加在负数上。实际上,在整数范围内,自然数的求余法则并不被很多人所接受,大家大多认可的是下面的这个 定义2

如果ad整数d 非零,那么余数 r 满足这样的关系:

a = qd + r , q 为整数,且0 ≤ |r| < |d|。

可以看到,这个定义导致了有负数的求余并不是我们想象的那么简单,比如,-1 和 2 都是 (-7) mod 3 正确的结果,因为这两个数都符合定义。这种情况下,对于取模运算,可能有两个数都可以符合要求。我们把 -1 和 2 分别叫做正余数负余数 。通常,当除以d 时,如果正余数为r1,负余数为r2,那么有

r1 = r2 + d

对负数余数不明确的定义可能导致严重的计算问题,对于处理关键任务的系统,错误的选择会导致严重的后果。

看完了 (-7) mod 3,下面我们来看一看 7 mod (-3) 的情况(看清楚,前面是 7 带负号,现在是 3 带负号)。根据 定义2 ,7 = (-3) * (-2) + 1 或7 = (-3) * (-3) -2,所以余数为 1 或 -2。

语言 语句 输出
C++(G++ 编译) cout « 7 % (-3); 1
Java(1.6) System.out.println(7 % (-3)); 1
Python 2.6 7 % (-3) -2
百度计算器 7 mod (-3) -2
Google 计算器 7 mod (-3) -2

从中我们看到几个很有意思的现象:

  • Java 紧随 C++ 的步伐,而 Python、Google、百度步调一致。难道真是 物以类聚? 联想一下,Google 一直支持 Python,Python 也颇有 Web 特色的感觉,而且 Google Application Engine 也用的 Python,国内的搜索引擎也不约而同地按照 Google 的定义进行运算。
  • 可以推断,C++ 和 Java 通常会 尽量让商更大一些 。比如在 (-7) mod 3中,他们以 -2 为商,余数为 -1。在 Python 和 Google 计算器中, 尽量让商更小 ,所以以 -3 为商。在 7 mod (-3) 中效果相同:C++ 选择了 3 作为商,Python 选择了 2 作为商。但 是在正整数运算中,所有语言和计算器都遵循了尽量让商小的原则, 因此 7 mod 3 结果为 1 不存在争议,不会有人说它的余数是-2。
  • 如果按照第二点的推断,我们测试一下 (-7) mod (-3),结果应该是前一组语言(C++,Java)返回 2,后一组返回 -1。(请注意这只是假设)

于是我做了实际测试:

语言 语句 输出
C++(G++ 编译) cout « -7 % (-3); -1
Java(1.6) System.out.println(-7 % (-3)); -1
Python 2.6 -7 % (-3) -1
百度计算器 -7 mod (-3) -1
Google 计算器 -7 mod (-3) -1

结果让人大跌眼镜,所有语言和计算机返回结果完全一致。

总结

我们由此可以总结出下面两个结论:

  1. 对于任何同号的两个整数,其取余结果没有争议,所有语言的运算原则都是 使商尽可能小
  2. 对于异号的两个整数,C++/Java语言的原则是 使商尽可能大, 很多新型语言和网页计算器的原则是使商尽可能小。

拓展

最后是 拓展时间 。对于 实数 ,我们也可以定义取模运算( 定义3 )。

当 a 和 d 是实数,且d 非零, a 除以 d 会得到另一个实数(商),没有所谓的剩余的数。但如果要求商为一个整数,则余数的概念还是有必要的。可以证明:存在唯一的整数商 q 和唯一的实数 r 使得: a = qd + r, 0 ≤ r < |d|. (转自维基百科)

如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要,尽管如此, 很多程序语言都实现了这个定义 。至于哪些程序语言实现了这个定义,就留给大家自己探究吧!

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