实数范围内的求模（求余）运算：负数求余究竟怎么求

背景

最近在一道 Java 习题中，看到这样的一道题：

What is the output when this statement executed: System.out.printf(-7 % 3);

正整数的取余运算大家都很熟悉，但是对于负数、实数的取余运算，确实给人很新鲜的感觉。于是我对此进行了一些探索。我发现，这里面还是颇有一点可以探索的东西的。

探究

首先，看看自然数的取模运算（ 定义1 ）:

如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r ，满足 a = qd + r 且0 ≤ r < d 。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

那么对于负数，是否可以沿用这样的定义呢？我们发现，假如我们按照正数求余的规则求 (-7) mod 3 的结果，就可以表示 -7 为 (-3)* 3 +2。其中，2是余数，-3是商。

那么，各种编程语言和计算器是否是按照这样理解的呢？下面是几种软件中对此的理解。

可以看到，结果特别有意思。这个问题是百家争鸣的。看来我们不能直接把正数的法则加在负数上。实际上，在整数范围内，自然数的求余法则并不被很多人所接受，大家大多认可的是下面的这个 定义2 。

如果a 与d 是 整数 ，d 非零，那么余数 r 满足这样的关系：

a = qd + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。

可以看到，这个定义导致了有负数的求余并不是我们想象的那么简单，比如，-1 和 2 都是 (-7) mod 3 正确的结果，因为这两个数都符合定义。这种情况下，对于取模运算，可能有两个数都可以符合要求。我们把 -1 和 2 分别叫做正余数和 负余数 。通常，当除以d 时，如果正余数为r1，负余数为r2，那么有

r1 = r2 + d

对负数余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于处理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。

看完了 (-7) mod 3，下面我们来看一看 7 mod (-3) 的情况（看清楚，前面是 7 带负号，现在是 3 带负号）。根据 定义2 ，7 = (-3) * (-2) + 1 或7 = (-3) * (-3) -2，所以余数为 1 或 -2。

从中我们看到几个很有意思的现象：

• Java 紧随 C++ 的步伐，而 Python、Google、百度步调一致。难道真是 物以类聚？ 联想一下，Google 一直支持 Python，Python 也颇有 Web 特色的感觉，而且 Google Application Engine 也用的 Python，国内的搜索引擎也不约而同地按照 Google 的定义进行运算。
• 可以推断，C++ 和 Java 通常会 尽量让商更大一些 。比如在 (-7) mod 3中，他们以 -2 为商，余数为 -1。在 Python 和 Google 计算器中， 尽量让商更小 ，所以以 -3 为商。在 7 mod (-3) 中效果相同：C++ 选择了 3 作为商，Python 选择了 2 作为商。但 是在正整数运算中，所有语言和计算器都遵循了尽量让商小的原则， 因此 7 mod 3 结果为 1 不存在争议，不会有人说它的余数是-2。
• 如果按照第二点的推断，我们测试一下 (-7) mod (-3)，结果应该是前一组语言（C++，Java）返回 2，后一组返回 -1。（请注意这只是假设）

于是我做了实际测试：

结果让人大跌眼镜，所有语言和计算机返回结果完全一致。

总结

我们由此可以总结出下面两个结论：

1. 对于任何同号的两个整数，其取余结果没有争议，所有语言的运算原则都是 使商尽可能小 。
2. 对于异号的两个整数，C++/Java语言的原则是 使商尽可能大， 很多新型语言和网页计算器的原则是使商尽可能小。

拓展

最后是 拓展时间 。对于 实数 ，我们也可以定义取模运算（ 定义3 ）。

当 a 和 d 是实数，且d 非零, a 除以 d 会得到另一个实数（商），没有所谓的剩余的数。但如果要求商为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商 q 和唯一的实数 r 使得: a = qd + r, 0 ≤ r < |d|. （转自维基百科）

如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要，尽管如此， 很多程序语言都实现了这个定义 。至于哪些程序语言实现了这个定义，就留给大家自己探究吧！

题外话：我帮你整理了包括 AI 写作、绘画、视频（自媒体制作）零门槛 AI 课程 + 国内可直接顺畅使用的软件。想让自己快速用上 AI 工具来降本增效，辅助工作和生活？限时报名。