Bellman-Ford 算法(带权有向图最短路径算法)

Bellman-Ford算法（根据发明者 Richard Bellman 和 Lester Ford 命名）是求解单源最短路径问题的一种算法。有时候这种算法也被称为 Moore-Bellman-Ford 算法，因为 Edward F. Moore 也为这个算法的发展做出了贡献。
单源点的最短路径问题是指：给定一个加权有向图G和源点s，对于图G中的任意一点v，求从s到v的最短路径。
与迪杰斯特拉算法，（另一种著名的求最短路径的算法）不同的是，在 Bellman-Ford 算法中，路径的权值可以为负数。 设想从我们可以从图中找到一个环路（即从v出发，经过若干个点之后又回到v）且这个环路中所有路径的权值之和为负。那么通过这个环路，环路中任意两点的最 短路径就可以无穷小下去。如果不处理这个负环路，程序就会永远运行下去。 而Bellman-Ford算法具有分辨这种负环路的能力。

算法描述

设G为加权有向图 V是所有结点的集合 E是所有路径的集合 S表示源点 n表示V中所有结点的数目 weight(u,v)表示从结点u到结点v的路径的权值。 Distanz(v)表示从源点s出发到结点v的最短路径的距离，（或者说是从s到v所有的路径中权值的最小值）。【Predecessor(v)表示节 点v的父结点。】在Bellman-Ford算法结束之后，可以输出，G是不是包含一个负环路。如果G不包含负环路，那么Distanz就存储了从s出发 到所有结点的距离。

Bellman-Ford 算法是 SPFA 算法的基础算法。SPFA 算法是 Bellman-Ford 算法的加强版，时间复杂度和适用面都优于 Dijkstra 算法。设G = (V,E,W) 为某一有向带权图（W 即 weight，权值），s，t 分别代表源点和终点，Distance(v) 代表 v 在算法当前阶段中暂定的从源点出发的最短权和，则算法的核心思想是进行至多 |V|-1 次的迭代处理，每次从 s 出发扩展一层路径，逐渐逼近最短路径。

Bellman-Ford算法的伪代码如下：

for 每一个结点v ∈ V
   Distance(v) := +∞
Distance(s) := 0
 循环 n-1 次
     for 每一条路径 （u,v）∈ E
         if Distance(u) + weight(u,v) < Distance(v) then
            Distance(v) := Distance(u) + weight(u,v)
 for 每一条路径 （u，v）属于 E
     if Distance(u) + weight(u,v) < Distance(v)
     then 中止程序并且返回 「找到负循环」
 返回 执行成功

for 每一个结点v ∈ V
Distance(v) := +∞
Distance(s) := 0
循环 n-1 次
for 每一条路径 （u,v）∈ E
if Distance(u) + weight(u,v) < Distance(v) then
Distance(v) := Distance(u) + weight(u,v)
for 每一条路径 （u，v）属于 E
if Distance(u) + weight(u,v) < Distance(v)
then 中止程序并且返回 「找到负循环」
返回 执行成功

第一次迭代时，Distance(s)=0，而对于任意 v ∈ V 且 v <> s，Distance(v)=+∞。因此第一次执行时，从伪代码可以看出，该算法实质是找到了从点 s 出发的所有边并更新了这些边的其非源端点到源点的Distance距离为这些边本身的权值。

第二次迭代时，对于所有 Distance(v) 不为无穷大的非源点，其 Distance 值即是从 s 出发的某条边的权值。在这次迭代中，在进行

 if Distance(u) + weight(u,v) < Distance(v)
         then
            Distance(v) := Distance(u) + weight(u,v) 

if Distance(u) + weight(u,v) < Distance(v)
then
Distance(v) := Distance(u) + weight(u,v)

即 更新 Distance 的值的过程中，新得到的 Distance(v) 由两部分组成，一部分是 Distance(u)，上文已说明它们中存储的是从点 s 出发的各个边的权值，一部分是 weight(u,v)，也即 Distance(v) 中最终存储的是从 s 出发的经过两层（两条边）到达 v 的路径长度。

以此类推，每次执行迭代后，均为按层扩展（或称增广），每次都可能更新 Distance(v)，其实质是通过更多层数换取更小的权值，经过了最多 |V|-1 次的增广，即可保证得到了从 s 出发到任意一个点的最短路径，并存储在了 Distance(v) 中。

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